TALES DE MILETO (640 - 550a.c.)

Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego, nascido por volta do ano 640 e falecido em 550 a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor, descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia.

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Tales foi incluído entre os sete sábios da antiguidade. Estrangeiro rico e respeitável, o famoso Tales durante a sua estadia no Egipto estudou Astronomia e Geometria.

Ao voltar de novo a Mileto, Tales abandonou, passado algum tempo, os negócios e a vida pública, para se dedicar inteiramente às especulações filosóficas, às observações astronómicas e às matemáticas. Fundou a mais antiga escola filosófica que se conhece - a Escola Jônica.

A sua fama estendeu-se a todo o mundo heleno, graças especialmente à predição de um eclipse do sol, cuja data não se sabe bem ao certo se foi a de 28 de Maio de 585 ou a de 30 de Setembro de 609 a.c.- predição resultante do uso de uma das tábuas compostas pelos Caldeus, que anunciavam os períodos de 18 anos e 11 dias dos eclipses solares.

Proclo, Laércio e Plutano atribuem a Tales não só a transplantação de conhecimentos matemáticos do Egipto para a Grécia, mas ainda à descoberta de várias proposições isoladas relativas às paralelas, aos triângulos e às propriedades do círculo, não apresentando nenhuma sequência lógica, mas com demonstrações dedutivas.

 Poderá dizer-se que Tales deu a essas matemáticas uma característica que se conserva até hoje, o conceito de "demonstração ou prova". Vamos enunciar algumas proposições de Tales.

   

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Proposição: Os triângulos equiângulos têm os seus lados proporcionais (Euc.vI.4, ou vI.2).

 

É uma proposição de grande importância, que Tales utilizou na determinação da altura da pirâmide Quéope.

 

Quando Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egipto, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, o nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide Quéope.

 Tales apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador:

"Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide".

Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda não refira.

Numa representação mais simples:

Os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos iguais:

então, os lados são proporcionais:

logo:

Proposição: O ângulo inscrito num semi-circulo é recto (Euc.III.31).

Esta proposição é considerada a mais notável de toda a obra geométrica de Tales. Deduz-se facilmente, do facto de se poder inscrever um rectângulo numa circunferência, verificando que as diagonais do rectângulo são diâmetros da circunferência e o rectângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma circunferência.

Proposição:Quando duas rectas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Euc.I.15).

Proposição: Se dois triângulos têm dois ângulos de um iguais a dois ângulos do outro e um lado de um igual a um lado do outro (lado este adjacente ou oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num e noutro triângulo, bem como o terceiro ângulo (Euc.I.26).

Segundo Proclo, Tales foi também o primeiro a demonstrar que o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais; e que são iguais entre si os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles. Transmitiu aos gregos estes e outros conhecimentos, principalmente de astronomia teórica e prática.

IMPORTÂNCIA DE TALES



Carater dedutivo que deu à ciência



Através de Tales e sua escola filosófica os gregos começaram a reunir em corpo a ciência matemática que provinha dos Egípcios e Caldeus



Aumentaram os conhecimentos desta ciência, Matemática, em diversos sentidos.

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A entrada para a Acrópole fazia-se através dum magnífico pórtico chamado Propileu

A SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E A DETERMINÇÃO DA ALTURA DA PIRÂMIDE DE QUÉOPS

 

Quando o sábio Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egipto, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, em nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide de Quéops: corria a voz de que o sábio sabia medir a altura de construções elevadas por arte geométrica, sem ter de subir a elas. Tales apoiou-se a uma vara, esperou até ao momento em que, a meio da manhã, a sombra da vara, estando esta na vertical, tivesse um comprimento igual ao da própria vara. Disse então ao mensageiro:

“Vá, mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual à altura da pirâmide”.

Para ser rigoroso, Tales deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda o não refira, talvez para não estragar, com demasiados pormenores técnicos, uma resposta que era bela na sua simplicidade.

Radice, L. L. (1971)

A Matemática de Pitágoras a Newton

Extraído de Matemática 7, Areal Editores, pág. 82

Como utilizou Tales de Mileto a semelhança de triângulos para medir a altura da pirâmide de Quéops?

95% DOS BRASILEIROS APROVAM A LEI MARIA DA PENHA

A Câmara de Vereadores realizou entre os dias 30 de junho e 11 de agosto, comprovou que 95.5% dos brasileiros aprova a Lei Maria da Penha (11.340/06), que protege a mulher vítima de violência doméstica que completa 05 anos, no dia 22 de setembro.

A pesquisa de abrangência nacional ouviu 1.295 pessoas e foi realizada mediante adesão do cidadão (ã) de forma espontânea no Disque Câmara (088 619 619).

Dos entrevistados, 77,5% declararam conhecer o conteúdo da lei, ainda que parcialmente.
Agora um dado curioso, 90,7% dos entrevistados acham que a punição contra agressores deveria ser mais rigorosa.

A Lei Maria da Penha está prestes a completar 05 anos , mas ainda deixa muito a desejar na proteção contra as mulheres e na punição aos agressores, o que acabou refletindo na pesquisa.

Foi muito bom a criação dessa  lei, acabar com a opressão da mulher...

NEM CRISTO AGUENTARIA SER PROFESSOR!

Naquele tempo, Jesus subiu a um monte seguido pela multidão e, sentado sobre uma grande pedra, deixou que os seus discípulos e seguidores se aproximassem.

Ele os preparava para serem os educadores capazes de transmitir a lição da Boa Nova a todos os homens.

Tomando a palavra, disse-lhes:
- Em verdade, em verdade vos digo:

- Felizes os pobres de espírito, porque deles é o reino dos céus.
- Felizes os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados.
- Felizes os misericordiosos, porque eles...?

Pedro o interrompeu:
- Mestre, vamos ter que saber isso de cor?

André perguntou:
- É pra copiar?

Filipe lamentou-se:
- Esqueci meu papiro!

Bartolomeu quis saber:
- Vai cair na prova?

João levantou a mão:
- Posso ir ao banheiro?

Judas Iscariotes resmungou:
- O que é que a gente vai ganhar com isso?

Judas Tadeu defendeu-se:
- Foi o outro Judas que perguntou!

Tomé questionou:
- Tem uma fórmula pra provar que isso tá certo?

Tiago Maior indagou:
- Vai valer nota?

Tiago Menor reclamou:
- Não ouvi nada, com esse grandão na minha frente.

Simão Zelote gritou, nervoso:
- Mas porque é que não dá logo a resposta e pronto!?

Mateus queixou-se:
- Eu não entendi nada, ninguém entendeu nada!

Um dos fariseus, que nunca tinha estado diante de uma multidão nem ensinado nada a ninguém, tomou a palavra e dirigiu-se a Jesus, dizendo:
- Isso que o senhor está fazendo é uma aula?
- Onde está o seu plano de curso e a avaliação diagnóstica?
- Quais são os objetivos gerais e específicos?
- Quais são as suas estratégias para recuperação dos conhecimentos prévios?

Caifás emendou:
- Fez uma programação que inclua os temas transversais e atividades integradoras com outras disciplinas?
- E os espaços para incluir os parâmetros curriculares gerais?
- Elaborou os conteúdos conceituais, processuais e atitudinais?

Pilatos, sentado lá no fundão, disse a Jesus:
- Quero ver as avaliações da primeira, segunda e terceira etapas e reservo-me o direito de, ao final, aumentar as notas dos seus discípulos para que se cumpram as promessas do Imperador de um ensino de qualidade.
- Nem pensar em números e estatísticas que coloquem em dúvida a eficácia do nosso projeto.
- E vê lá se não vai reprovar alguém!

E, foi nesse momento que Jesus suspirou e disse: "Senhor, por que me abandonaste?"

E dai professor, o que você diria?

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: Das origens primitivas ao declínio da Matemática Grega”

Neste trecho da obra de Carl B. Boyer, a História da Matemática é abordada desde as suas origens primitivas, apontando que o desenvolvimento do conceito de Número foi um processo longo e gradual. Sendo o conceito de Número Inteiro o mais antigo, pré-histórico. Ao que se pode verificar, as tribos primitivas não tinham necessidade do uso de frações, na qual estas somente foram aparecer na idade moderna da Matemática.

O autor denomina como “estágio mesopotâmico” a parte mais antiga da civilização (Egito, Mesopotâmia, Índia e China). Boyer afirma que a informação que se tem sobre a Matemática egípcia é proveniente do “Papiro de Rhind”, considerado o mais antigo e mais extenso documento matemático que se tem conhecimento. No referido documento encontra-se como operação aritmética fundamental a Adição e o uso de “duplicações” para operações de multiplicação e Divisão.

A Mesopotâmia fornece mais registros do conhecimento matemático porque o material de seus documentos era feito de barro cozido, menos vulneráveis do que o papiro egípcio. O sistema decimal mesopotâmico de base 60 foi fundamento principal para a maioria das civilizações. Os babilônios tinham sua numeração cuneiforme e não tinham um símbolo específico para o zero. Somente depois da conquista de Alexandre, O Grande é que o zero passou a ser devidamente representado. Além de operações aritméticas fundamentais, também foram encontradas tabelas exponenciais, com alto nível de habilidade para calcular equações quadráticas e cúbicas. Os babilônios consideravam a Geometria como uma espécie de Álgebra ou Aritmética aplicada.

No mundo grego, para a Geometria pode-se destacar Tales de Mileto, um homem de negócios e Pitágoras de Samos, um profeta e místico que fundou a Escola Pitagórica. Representou importante influência nos dois primeiros volumes de “Os Elementos” de Euclides. Na Grécia havia dois sistemas principais de numeração: notação Ática (ou herodiânica) e o sistema Jônio (ou alfabético), sendo o primeiro mais primitivo, apesar dos dois possuírem base decimal.

Na segunda metade do quinto século a. C. haviam relatos de que alguns matemáticos estariam preocupados com alguns problemas, que posteriormente serviu de base para o desenvolvimento da Geometria. Esse período foi chamado de “Idade Heróica da Matemática”, no qual provêm três problemas clássicos: Quadratura do círculo, Duplicação do cubo e Trissecção do ângulo. Cerca de 2200 anos depois se provou que os três problemas são impossíveis de resolver apenas com régua e compasso. A Idade Heróica ainda trouxe o Teorema de Hipócrates sobre áreas de círculos, sendo o mais antigo enunciado sobre mensuração curvilínea.

Na História da matemática é necessário ressaltar a importância de Platão, principalmente por seu papel inspirador. Considerava a Logística adequada para negociantes e guerreiros e a Aritmética como um poder muito grande para elevar a mente, pelo raciocínio com os números abstratos. Platão causou um escândalo lógico ao descobrir o “incomensurável”, arruinando teoremas de proporções. Aristóteles foi o mais erudito, filósofo e biólogo, discípulo de Platão e mestre de Alexandre, O Grande. Sua morte marca o fim de um primeiro grande período, a Idade Helênica.

Euclides foi um dos sábios que surgiram no mundo grego, na época Alexandrina. Suas obras são referência até hoje: “Os Elementos”, “Os Dados”, “Divisão de Figuras”, “Os Fenômenos” e “Óptica”. Através dos relatos deixados desta época, sabe-se que Euclides era conhecido por sua capacidade de ensinar. O maior matemático deste tempo, Arquimedes, de Siracusa, que ficou conhecido por inventar engenhosas máquinas de guerra e em suas obras a chamada “Lei da alavanca”. Considerado o Pai da Física Matemática através das obras “Sobre o equilíbrio de planos” e “Sobre corpos flutuantes” (em dois volumes). Outro matemático que se destacou nesta época foi Apolônio, com a coleção chamada “Tesouro da análise”. Destacou-se pela obra “As Cônicas”, em oito volumes, que juntamente com “Os Elementos” de Euclides, são consideradas as melhores obras em seus campos.

Nas obras de Euclides não incluem a Trigonometria, apesar de haverem teoremas equivalentes às leis e fórmulas trigonométricas. Não se sabe quando surgiu o uso sistemático do círculo de 360º, mas ao que parece, isto se deve a Hiparco, através de sua tabela de cordas.

Numa época em que o mundo era politicamente dominado por Roma, que pouco contribuiu para a Ciência, a Filosofia e a Matemática, surgiu o maior algebrista grego: Diofante de Alexandria. Sua mais importante obra é “Arithimetica” (Teoria dos Números), do qual apenas os seis primeiros livros de treze foram preservados. Desta época também se pode destacar Papus de Alexandria, o último geômetra grego importante. Sua obra mais importante é “A Coleção”, composta por oito livros e sendo que os dois primeiros se perderam. Papus faz uma distinção entre problemas lineares, planos e sólidos, além de tratar de aplicações da Matemática na Astronomia, Óptica e Mecânica.

(BOYER, Carl B. História da Matemática, 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.)

ANTIGA INTELIGÊNCIA MATEMÁTICA É PRESERVADA

8/12/2010 - 15h45 | do UOL Ciência e Saúde

British Museum via The New York Times

O papiro de Rhind, que data de 1650 a.C, é um entre muitos papiros
e artefatos antigos exibindo a inventividade matemática do Egito

Por Pam Belluck
The New York Times

“Quando ia a St. Ives

Encontrei um homem com sete esposas...”

Você pode conhecer este enigma em cântico,

mas pode ser que não saiba disto:

que tudo começou no antigo Egito,

em seus matemáticos manuscritos.

É verdade. Essa charada de tom britânico sobre St. Ives (cada esposa carrega sete sacos contendo sete gatos, cada um com sete filhotes, e você precisa descobrir quantos estão indo a St. Ives) possui um antecedente decididamente arcaico.

Um documento egípcio com mais de 3.600 anos, o Papiro Matemático de Rhind, contém um enigma de setes com uma misteriosa semelhança à charada de St. Ives. Ele fala em ratos e cevada, e não em esposas e sacos, mas a essência é similar. Sete casas possuem sete gatos; cada gato come sete ratos, e cada rato come sete grãos de cevada. Cada grão de cevada teria produzido sete hekat de grãos (um hekat era uma unidade de volume, correspondendo a aproximadamente 4,9 litros).

O objetivo: determinar quantas coisas são descritas. A resposta: 19.607.

O papiro de Rhind, que data de 1650 a.C., é um entre muitos papiros e artefatos antigos exibindo a inventividade matemática do Egito. Há o Papiro Matemático de Moscou (mantido no Museu Estadual de Belas Artes Pushkin, em Moscou), o Papiro Matemático Egípcio (mantido no British Museum, ao lado do papiro de Rhind) e as Placas de Madeira de Akhmim (no Museu de Antiguidades Egípcias, no Cairo).

Eles incluem métodos para medir o mastro e o leme de navios, calcular o volume de cilindros e pirâmides cortadas, dividir quantidades de grãos em frações e verificar a quantidade de pão a ser trocada por cerveja. Eles até mesmo computam a área de um círculo usando uma incipiente aproximação de pi (eles usam 256/81, ou cerca de 3,16; o valor de pi é 3,14159...).

Tudo serve para mostrar que criar enigmas é “o mais antigo dos instintos”, disse Marcel Danesi, especialistas em charadas e professor de antropologia da Universidade de Toronto. Ele chama documentos como o papiro de Rhind de “os primeiros livros de charadas da história”.

Danesi diz que povos de todas as eras e culturas gravitam ao redor de enigmas, pois estes possuem soluções.

“Outros enigmas filosóficos da vida não possuem”, continuou ele. “Quando percebe a solução você pensa, ‘Ah, então é isso, droga’, e isso lhe traz algum alívio”.

Mas as charadas egípcias não eram apenas diversões recreativas buscando a reconfortante ilusão de competência. Elas eram sérias em sua missão. No papiro de Rhind, seu escriba, conhecido como Ahmes, introduz os cerca de 85 problemas dizendo que está apresentando “o método correto de cálculo, para que se possa captar o significado das coisas e saber tudo que existe, obscuridades e todos os segredos”.

E os documentos eram guias práticos para dirigir uma civilização em amadurecimento e uma economia em expansão.

“O Egito estava mudando de um mundo centralizado e estruturado a outro parcialmente descentralizado”, disse Milo Gardner, um decifrador amador de textos matemáticos egípcios que escreveu extensivamente sobre eles. “Eles tinham um sistema econômico administrado por proprietários de terras ausentes e pagavam o povo em unidades de grãos – e, para deixar isso justo, era preciso ter pesos e medidas exatas. Eles estavam tentando descobrir uma forma de dividir igualmente o hekat, para poder usá-lo como uma unidade de moeda”.

Assim, as placas de Akhmim, com quase 4 mil anos, trazem listas de nomes de empregados, junto a uma série de cálculos relativos a como um hekat de grãos pode ser dividido por 3, 7, 11 e 13.

O Papiro matemático Egípcio, também de aproximadamente 1650 a.C., é geralmente considerado um tipo de teste prático, para que estudantes aprendessem como converter frações em somas de outras frações.

O papiro de Rhind contém problemas geométricos que calculam as inclinações de pirâmides e o volume de depósitos de diversos formatos. E o papiro de Moscou, de 1850 a.C., traz cerca de 25 problemas, incluindo formas de medir partes de um navio e descobrir a área de superfície de um hemisfério, além da área de triângulos. São especialmente interessantes os problemas que calculam a eficiência de um trabalhador a partir de quantas achas de lenha ele carregava, ou quantas sandálias ele conseguia produzir e decorar. Ou os problemas que envolvem um pefsu, uma unidade que media a força ou fraqueza da cerveja ou do pão com base na quantidade de grãos usada em sua produção.

Um problema calcula se seria certo trocar 100 unidades de pão de 20-pefsu por 10 jarros de cerveja de 4-pefsu. Após uma série de passos, o papiro proclama, segundo uma tradução: “Observe! A quantidade de cerveja foi considerada correta”.

Os problemas nesses textos antigos não são difíceis para os padrões matemáticos modernos. O desafio para os acadêmicos se mostrou em decifrar o que os problemas estão dizendo e verificar sua exatidão. Alguns dos equivalentes numéricos estão escritos num sistema simbólico chamado Olho de Hórus, baseado num desenho representando o olho do deus dos céus Hórus, retratado como um falcão. Partes do olho do falcão são usadas para representar frações: metade, um quarto e assim por diante, chegando até um sessenta e quatro avos.

Os acadêmicos encontraram alguns erros nos problemas, e Ahmes chegou a escrever um número incorreto em seu problema de St. Ives. No geral, porém, as equações são consideradas incrivelmente precisas.

“As respostas práticas estão resolvidas”, disse Gardner. “O que não solucionamos é o pensamento real do escriba. Não sabemos exatamente como ele pensou em tudo aquilo.

 http://noticias.bol.uol.com.br/ciencia/2010/12/08/antiga-inteligencia-matematica-e-preservada-em-papiros.jhtm

QUAL A ORIGEM DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?

REGISTRO HISTÓRICO O papiro de Rhind revela  figuras geométricas.  Foto: Egyptian/Getty Images

Não é possível saber quando elas surgiram com exatidão, pois não existem registros e porque o conhecimento das figuras geométricas compreende saberes diferentes: a percepção do desenho e o conceito matemático. Ou seja, uma criança pode desenhar um quadrado sem saber descrevê-lo (quatro lados e quatro ângulos iguais). Até hoje é possível encontrar povos nessa situação, como os índios cuicuros, do Centro-Oeste brasileiro. Mas sabe-se que pouco depois de 2600 a.C., época da construção da pirâmide de Gizé, no Egito, cuja base quadrada é bastante precisa, o escriba Ahmes registrou cálculos de áreas de círculos, retângulos e triângulos no papiro de Rhind (nome do arqueólogo que o comprou). Também é sabido que entre 2000 e 1600 a.C. os babilônios já conheciam as figuras básicas (o retângulo, o quadrado e o triângulo) e calculavam sua área.

Consultoria Renato Ribeiro, consultor pedagógico da Editora Moderna.

Publicado no site: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/geometria-origem-figuras-geometricas-450656.shtml