CONJUNTOS NUMÉRICOS

Alguns conceitos primitivos

Conjunto

O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2-4=0.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo , que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural, escrevemos:

1N
Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:
0N
Um símbolo matemático para a negação é a barra /.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A = { a, e, i, o, u }
N = { 1, 2, 3, 4, ... }
M = { João, Maria, José }
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
AB = { x: aA ou xB }

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
AB = { x: aA e xB }
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
AA = A e A A = A
1. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AAB, BAB, ABA, ABB
2. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB equivale a AB = B
AB equivale a AB = A
3. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A(BC) = (AB)C
A(BC) = (AB)C
4. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB = BA
AB = BA
5. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
6. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø = Ø
7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
A ( B C ) = ( A B ) (A C )
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = { x: a e x B

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C BA, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
C BA = A-B = { x: x A e x B }

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

O complementar da reunião de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc
O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
AB = { x: xAB e xAB }
A situação gráfica para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=AB.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. AA=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:
A(BC) = (AB)(AC)
7. AB está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:
AB (AC)(BC)
conjuntos numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }